04-10-0379-vu von-Neumann-Algebren

Lehrende: Prof. Dr. rer. nat. Burkhard Kümmerer; Albrun Knof

Veranstaltungsart: Vorlesung und Übung

Orga-Einheit: FB04 Mathematik

Anzeige im Stundenplan: von-Neumann-Algebren

Fach:

Anrechenbar für:

Semesterwochenstunden: 6

Unterrichtssprache: Deutsch

Min. | Max. Teilnehmerzahl: - | 25

Lehrinhalte:
Von Neumann Algebren besitzen unter allen Operatoralgebren die mit Abstand reichhaltigste Struktur, Funktionalanalysis und Algebra verbinden sich hier auf fruchtbarste Weise. Sie lassen sich auf natürliche Weise zu so verschiedenartigen Objekten assoziieren wie lokalkompakten Gruppen, dynamischen Systemen, Blätterungen oder Quantenfeldtheorien und haben zu deren Verständnis grundlegend beigetragen. Zwei Fieldsmedaillen sind allein für Arbeiten auf dem Gebiet der von Neumann Algebren verliehen worden, an A. Connes (1983) für seine Klassifikation von Faktoren und an V. Jones (1990) für seine Entdeckung neuer Knoteninvarianten aus seinen Untersuchungen an von Neumann Algebren. Beide Entwicklungen werden in der Vorlesung angesprochen. Schwerpunktmäßig befassen wir uns mit folgenden Themen:

• Zustände und Darstellungen von Operatoralgebren
  
• Tensorprodukte
  
• B(H) als von Neumann Algebra und Topologien auf B(H)
  
• Bikommutantensatz und erste Folgerungen
  
• Topologische Eigenschaften von von Neumann Algebren
  
• Zentrum, Ideale und Faktoren
  
• Vergleich von Projektionen und Klassifikation von von Neumann Algebren
  
• Von Neumann Algebren vom Typ I, II und III
  
• Standard-Darstellung und Indextheorie von V. Jones für endliche Faktoren
  
• Zöpfe, Knoten, Knoteninvarianten und Jones-Polynom
  

Literatur:
M.Takesaki: Theory of Operator Algebras I.

R. V. Kadison, J.R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator
Algebras I, II.

G. Pedersen: C*-Algebras and their Automorphism Groups.

S. Sakai: C*-Algebras and W*-Algebras.

B. Blackadar: Operator Algebras.

J. Conway: A Course in Operator Theory.

V. Jones, V.S. Sunder: Introduction to Subfactors.

V. Jones: Subfactors and Knots.

Voraussetzungen:
Funktionalanalysis, Spektraltheorie, Grundlagen der Operatoralgebren